Задача 66143

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Филипповский Г.Б.

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Решение

  Пусть биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I, BL – биссектриса внешнего угла B (L лежит на прямой AC, см. рис.).
  Заметим, что точки A₁, C₁ и L лежат на одной прямой (этот факт можно доказать, используя, например, теорему Менелая, или аналогично решению задачи 107770).

Отсюда вытекает способ построения.
    1) Строим прямые AI, BI и CI (биссектрисы углов треугольника) и находим точки A₁, C₁ и середину W дуги AC как пересечение BI с описанной окружностью.
    2) Строим прямые A₁C₁ и AC и находим точку L их пересечения.
    3) Строим прямую BL и находим точку K её пересечения с окружностью.
    4) Проводим KW.
  Так как угол KBW – прямой, то KW – диаметр, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	10-11
задача
Номер	3