Задача 66148

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кузнецов А.

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Решение

  Поскольку  BC || AD,  а прямая ZC касается окружности ω, то  ∠ADB = ∠YBC = ∠YCZ.  Следовательно, четырёхугольник CYDZ – вписанный (см. рис.).

  Значит,  ∠CYZ = ∠CDZ = ∠XBC = 180° – ∠CYX.  Таким образом,  ∠CYZ + ∠CYX = 180°,  поэтому точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2