Задача 66152

Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Храбров А.

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a³, b³ и c³?

Решение

Рассмотрим трёхчлен  f(x) = (a + b + c)x² – (ab + bc + ca)x + abc = x³ – (x – a)(x – b)(x – c).   f(a) = a³ – 0 = a³;  аналогично  f(b) = b³  и  f(c) = c³.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6