Задача 66162

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Число x таково, что обе суммы  S = sin 64x + sin 65x  и  C = cos 64x + cos 65x  – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Решение

Заметим. что число  S² + C² = (sin²64x + cos²64x) + (sin²65x + cos²65x) + 2(sin 64x sin 65x + cos 64x cos 65x) = 2 + 2cos(65x – 64x) = 2 + 2cos x  рационально, откуда  cos x  – также рациональное число. Ввиду формулы  cos 2a = 2cos²a – 1,  все числа вида  cos 2^ka  также рациональны – в частности,  cos 64x.  Поскольку C рационально, то и второе слагаемое в этой сумме также рационально.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1