ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66187
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлен  x³ + px² + qx + r  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < p + q + r < 0.


Решение

  Если x1, x2, x3 – корни (нашего) многочлена P, то  P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3).  Поэтому  1 + p + q + r = P(1) = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3).
  Каждый из сомножителей по модулю меньше 1, поэтому  – 1 < 1 + p + q + r < 1,  что равносильно утверждению задачи.


Ответ

Найдутся.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .