Задача 66187

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Многочлен  x³ + px² + qx + r  имеет на интервале  (0, 2)  три корня. Докажите, что  – 2 < p + q + r < 0.

Решение

  Если x₁, x₂, x₃ – корни (нашего) многочлена P, то  P(x) = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃).  Поэтому  1 + p + q + r = P(1) = (1 – x₁)(1 – x₂)(1 – x₃).
  Каждый из сомножителей по модулю меньше 1, поэтому  – 1 < 1 + p + q + r < 1,  что равносильно утверждению задачи.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2