|
|
 |
Условие
На плоскости дан отрезок AB. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной AB. Найдите геометрическое место
а) вершин их наибольших углов;
б) их центров вписанных окружностей.
Решение
а) Если вершина наибольшего угла не совпадает ни с одной из точек A и B, то AB – наибольшая сторона соответствующего треугольника ABC, то есть CA ⊥ AB и CB ⊥ AB. С другой стороны, так как угол C острый, C лежит вне круга с диаметром AB.
б) Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABС. Так как углы A и B острые, то ∠IAB < 45° и ∠IBA < 45°, то есть I лежит внутри квадрата AKBL. С другой стороны, так как угол C острый, то ∠AIB < 135° и I лежит вне пересечения кругов с центрами K, L и радиусами KA.
Ответ
а) Точки A, B, а также множество точек, лежащих внутри или на границе пересечения двух кругов с центрами в A и B и радиусами AB, но вне круга с диаметром AB.
б) Множество точек, лежащих внутри квадрата AKBL, но вне пересечения двух кругов с центрами K и L и радиусами KA.
