|
|
 |
Условие
В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.
Решение 1
Так как центр O описанной окружности принадлежит данному треугольнику ABC, этот треугольник не может быть тупоугольным. Если он прямоугольный, то центр описанной окружности точка O совпадает с серединой гипотенузы, и она совпадает с точкой касания вписанной окружности. Значит, треугольник прямоугольный равнобедренный и утверждение выполнено.
Далее считаем, что треугольник остроугольный и O лежит на одной из трёх дуг между точками касания. Пусть эта дуга обращена к вершине A. Опустим из O перпендикуляры OD и OE на AB и AC. Основание каждого из них (середина стороны) лежит между A и точкой касания вписанной окружности ω со стороной. Следовательно, AB > BC и AC > BC.
Теперь достаточно доказать, что отношение любой из сторон AB, AC к BC меньше 2. Пусть D – середина AB, K и L – точки касания ω с AB и BC. Тогда BK = BL, и надо доказать, что DK < CL. Перпендикуляр DO к AB пересекает ω в точке O, поэтому DK не больше радиуса r окружности ω. С другой стороны, CL > r, так как перпендикуляр, восставленный из C к BC, не имеет общих точек с ω (угол C – острый). Следовательно,
BD = BK + KD < BL + LC = BC, что и требовалось.
Решение 2
Пусть R, r – радиусы описанной и вписанной окружностей. По формуле Эйлера (см. задачу 52464) получаем, что Каждая из сторон треугольника является хордой описанной окружности, касающейся вписанной. Максимальная из таких хорд равна 2R, а минимальная, касающаяся вписанной окружности в точке, противоположной O, равна
поскольку подкоренное выражение больше ¼.
