Задача 66213

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Богданов И.И.

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и L соответственно так, что  ∠AKD = ∠CLD.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника BKL равноудален от A и C.

Решение

Треугольники AKD и CLD подобны по двум углам, следовательно,  AK : CL = AD : CD.  Поэтому, если точка K движется с постоянной скоростью по AB, то L также равномерно движется по BC, а значит, и центр описанной окружности треугольника BKL движется по прямой. Если K, L – проекции D на AB и BC соответственно, то центр описанной окружности треугольника BKL совпадает с центром параллелограмма, а когда K и L совпадают соответственно с A и C, центр лежит на серединном перпендикуляре к AC. Таким образом, этот перпендикуляр и будет геометрическим местом центров.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	10