Задача 66230

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

Решение

  Очевидно, что F лежит на прямой CD. Так как  CG = DF,  то  FG = CD = AB,  то есть ABGF – параллелограмм, и  ∠BGD = 180° – ∠AFD = ∠AED.  Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что  ∠BGE < ∠EGD  или что расстояние от точки E до прямой BG меньше, чем до прямой CD. Но расстояние от E до CD равно расстоянию до AF, поскольку FE – биссектриса угла DFA, так что достаточно доказать, что E лежит ближе к BG, чем к AF.

  Прямая, проходящая через E параллельно AB, пересекает AF в центре O построенной окружности (см. рис.). Следовательно,  EO > ^AD/₂ = ^AB/₂,  что равносильно искомому неравенству.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	3