ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66245
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан шестиугольник ABCDEF.  K, L, M, N – точки пересечения пар прямых AB и CD, AC и BD, AF и DE, AE и DF.
Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.


Решение

Проведём проективное преобразование, сохраняющее окружность и переводящее точку L в её центр (см. задачу 58424 а). В результате ABCD станет прямоугольником, а прямая KL – его осью симметрии. Если одна из точек M, N лежит на этой оси, то точки E и F симметричны относительно неё, а значит, и вторая точка лежит на KL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 18

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .