|
|
 |
Условие
Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.
Решение
Как показано в решении 2 задачи 66262 геометрическим местом точек с постоянной суммой ориентированных расстояний до сторон треугольника ABC является прямая, перпендикулярная прямой OI, где O, I – центры описанной и вписанной окружностей. При этом для точки I сумма расстояний до сторон обоих данных треугольников равна 3r, а для точки O – R + r (формула Карно, которая легко следует из задачи 57621), где R, r – радиусы описанной и вписанной окружностей. Поэтому суммы расстояний до сторон обоих треугольников равны для всех точек плоскости.
Замечания
Можно показать, что утверждение задачи остается верным при замене треугольников вписанно-описанными многоугольниками с любым числом сторон.
