|
|
 |
Условие
В треугольнике АВС ∠В = 110°, ∠С = 50°. На стороне АВ выбрана такая точка Р, что ∠РСВ = 30°, а на стороне АС – такая точка Q, что
∠ABQ = 40°. Найдите угол QPC.
Решение
Из условия следует, что ∠ВРС = 40°, ∠QВС = 70°.
Первый способ. Проведём луч, симметричный лучу СР относительно прямой АС (рис. слева). Пусть М – точка пересечения этого луча с лучом ВQ. Так как ∠РСМ = 40° = ∠РBМ, то четырёхугольник РВСМ – вписанный, значит, ∠МРС = ∠МВС = 70°. Поэтому
∠РМС = 180° – 70° – 40° = 70°, то есть треугольник МРС – равнобедренный. Его биссектриса CA является серединным перпендикуляром к стороне РМ, значит, точки М и Р симметричны относительно неё. Следовательно, ∠QРС = ∠QМС = ∠ВРС = 40°.
Второй способ. Отразим точку B относительно прямой AС, тогда ∠AB'C = ∠B = 110° (рис. в центре). Так как
∠A = 180° – (50° + 110°) = 20° = ∠PCA, то PA = PC. Кроме того, ∠АPC = 140° = 2(180° – ∠AB'C). Следовательно, P – центр описанной окружности треугольника AB'C. Значит, ∠PB'A = ∠PAB' = 40°. Так как ∠QB'A = ∠QBA = 40° то точки P, Q и B' лежат на одной прямой. Следовательно, ∠QPC = ∠B'PC = 2∠В'AC = 40°.
Третий способ. Пусть О – центр описанной окружности треугольника BCQ. Тогда ∠OCQ = 90° – ∠QBC = 20° = ∠PCQ, то есть О лежит на луче СР (рис. справа). Кроме того, треугольник BCQ – остроугольный, поэтому точка O лежит внутри него.
∠BQO = 90° – ∠BCQ = 40° = ∠BPO. Следовательно, PBOQ – вписанный четырёхугольник. Значит, ∠QPC = ∠QBO = ∠OQB = 40°.
Ответ
40°.
Замечания
1. Легко видеть, что PBOQ – равнобокая трапеция, но нам это не понадобилось.
2. 9 баллов.
