Задача 66322

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Покрытия ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Решение

Пусть CD – медиана треугольника ABC, угол ADC не острый, угол BDC не тупой. Тогда треугольник BDC лежит по одну сторону от серединного перпендикуляра к AB, который содержит диаметр описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, треугольник BDC содержится в соответствующем полукруге. Треугольник же ACD можно накрыть полукругом с диаметром AC и, тем более, полукругом большего диаметра.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6