Задача 66327
|
|
 |
Условие
Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1).
Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более трети её длины.
Решение
Окружность лежит в восьмиклеточной рамке, окружающей указанную клетку, иначе расстояние от точки окружности вне рамки до дальней вершины исходной клетки будет больше 2 – диаметра окружности. Поэтому окружность разбивается на восемь дуг чередующихся цветов (белые дуги могут быть нулевыми). Заметим, что каждая чёрная дуга не меньше 60°, поскольку стягивающая её хорда не меньше стороны клетки, то есть радиуса окружности. Поэтому четыре чёрные дуги составляют не менее ⅔ длины окружности.
Замечания
5 баллов
