|
|
 |
Условие
Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что $|a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$
Решение
Достаточно найти сумму указанного вида, чей модуль не меньше 2017: так как все слагаемые по модулю равны 1, в ней есть подсумма нужного вида с модулем ровно 2017.
Заметим, что если $a_i = a_j$ (где $i< j$), то
$a_i a_{i+1}...a_{j-1} = a_{i+1}a_{i+2}...a_{j}$.
Рассмотрим все наборы вида $(a_i, a_{i+1}, ... ,a_{i+4031})$.
Поскольку их бесконечное число, среди них найдутся два одинаковых. Пусть это наборы, начинающиеся с $a_i$ и $a_j$ $(i < j)$. Тогда
$a_ia_{i+1}...a_{j-1} = a_{i+1}a_{i+2}...a_{j} = a_{i+4032}a_{i+4033}...a_{j+4031}$. Разберём случай, когда все эти 4033 произведения равны 1.
Положим $k = j - i - 1$, $S_n = a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}$. Если $S_{i-1} \leqslant -2017$, то $S_{i-1}$ – искомая сумма. В противном случае, $S_{i+4032} \geqslant 2017$ и $S_{i+4032}$ – искомая сумма.
Замечания
8 баллов
