ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66355
Темы:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  1/R1 + 1/R2 + 1/R31/r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.


Решение

  Рассмотрим треугольник АВС и одну из указанных окружностей, которая проходит через вершину В и касается стороны АС в точке D (см. рис.). Её диаметр не меньше, чем хорда BD, которая, в свою очередь, не меньше высоты ВН треугольника.

  Таким образом,  1/2R1 + 1/2R2 + 1/2R31/h1 + 1/h2 + 1/h3,  где hi – высоты треугольника. Осталось воспользоваться равенством  1/h1 + 1/h2 + 1/h3 = 1/r,  в справедливости которого легко убедиться, умножив обе части этого равенства на 2SABC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .