Решите систему:
 

   Решение

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < < .

   Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

Темы:    [ Средние величины ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

Решение

  Для  n = 1  отрезок вырождается в точку, а утверждение, очевидно, верно. Далее считаем, что  n > 1.
  Пусть k – количество делителей числа  n = a².
  Оценка сверху. Количество собственных делителей равно  k – 2  и каждый из них не превосходит ⁿ/₂. Значит, сумма всех делителей не больше чем
ⁿ/₂ (k – 2) + n + 1 = ^nk/₂ + 1.  Следовательно, их среднее арифметическое не превосходит  ⁿ/₂ + ¹/_k ≤ ⁿ/₂ + ½ = ⁿ⁺¹/₂.
  Оценка снизу. Пусть  d₁d₂ = n  и  d₁ ≠ d₂,  тогда, как известно,    Все делители n (кроме a, если число a – целое) разбиваются на такие пары. В любом случае  d₁ + d₂ + ... + d_k > ka.  Значит,  ¹/_k (d₁ + d₂ + ... + d_k) > a.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования