ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66358
Темы:    [ Средняя линия трапеции ]
[ Площадь трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике АВСD точка K – середина стороны ВС, а  SАВСD = 2SАKD.
Найдите длину медианы КЕ треугольника AKD, если  AB = a,  CD = b.


Решение

  Через точки A и D проведём прямые, параллельные КЕ, до их пересечения с прямой ВС в точках B' и C' соответственно (рис. слева). Тогда AB'C'D – трапеция, а КЕ – её средняя линия.

  При этом  SАВ'С'D = KE·h,  а  SАВСD = 2SАKD = KE·h = SАВ'С'D,  где h – высота трапеции (рис. справа). Поскольку K – общая середина отрезков ВС и B'C', отсюда следует, что эти четырёхугольники совпадают. Значит,  КЕ = ½ (AB + CD) = ½ (a + b).


Ответ

a+b/2.

Замечания

9 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .