|
|
 |
Условие
Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?
Решение
Пусть отрезки расположены согласно условию. Расположим начало оси так, чтобы концы первого отрезка попали на точки с целочисленными координатами.
Заметим, что второй отрезок пересекается с первым, но не содержится в нём и не содержит его (иначе пересечение имеет чётную длину). Значит, один из концов второго отрезка имеет целую абсциссу. Отсюда следует, что и второй конец второго отрезка имеет целую абсциссу. То же верно и для третьего отрезка.
Из условия следует, что у каких-то двух отрезков координаты концов будут иметь одинаковую чётность. Но тогда их пересечение – отрезок чётной длины. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Замечания
9 баллов
