Задача 66360

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Число p – корень кубического уравнения  x³ + x – 3 = 0.
Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число p².

Решение

Из условия следует, что  p³ + p = 3.  Значит,  (p³ + p)² = 9  ⇔  p⁶ + 2p⁴ + p² – 9 = 0.  Таким образом, p² является корнем уравнения  x³ + 2x² + x – 9 = 0.

Ответ

x³ + 2x² + x – 9 = 0.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5.1