Задача 66364

Тема:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Из вершины прямого угла треугольника ABC проведена медиана СМ. Окружность, вписанная в треугольник САМ, касается СМ в её середине. Найдите угол ВАС.

Решение

Обозначив через K, P и Н точки касания окружности со сторонами треугольника САМ (см. рис.), получим: AK = AP, CK = CH = MH = MP. Следовательно, АС = АМ. Кроме того, СМ = 0,5АВ = АМ.
Таким образом, треугольник САМ – равносторонний, значит, ∠ВАС = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1.2