ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66373
Темы:    [ Ребусы ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные цифры – разными буквами). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?

Решение

Так как ДЕВЯНОСТО делится на 90, то О = 0, тогда сумма Д + Е + В + Я + (Н + С) + Т делится на 9. Так как ДЕВЯТКА делится на 9, то и сумма Д + Е + В + Я + Т + (К + А) делится на 9. Заметим, что всего в этих двух суммах присутствует девять различных букв, значит, в них использованы все цифры от 1 до 9. Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45, значит, Д + Е + В + Я + Т + (К + А) + (Н + С) = 45, что также делится на 9. Следовательно, К + А делится на 9 и Н + С делится на 9.

Предположим, что СОТКА делится на 9, то есть на 9 делится сумма С + Т + К + А. Так как К + А делится на 9, то С + Т делится на 9. Тогда, учитывая, что Н + С делится на 9, получим: (Н + С) – (С + Т) = Н – Т делится на 9. А это возможно только в случае, когда Н = Т. Противоречие, из которого следует, что предположение неверно, то есть СОТКА на 9 не делится.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .