|
|
 |
Условие
В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные цифры – разными буквами). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?
Решение
Так как ДЕВЯНОСТО делится на 90, то О = 0, тогда сумма Д + Е + В + Я + (Н + С) + Т делится на 9. Так как ДЕВЯТКА делится на 9, то и сумма Д + Е + В + Я + Т + (К + А) делится на 9. Заметим, что всего в этих двух суммах присутствует девять различных букв, значит, в них использованы все цифры от 1 до 9. Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45, значит, Д + Е + В + Я + Т + (К + А) + (Н + С) = 45, что также делится на 9. Следовательно, К + А делится на 9 и Н + С делится на 9.
Предположим, что СОТКА делится на 9, то есть на 9 делится сумма С + Т + К + А. Так как К + А делится на 9, то С + Т делится на 9. Тогда, учитывая, что Н + С делится на 9, получим: (Н + С) – (С + Т) = Н – Т делится на 9. А это возможно только в случае, когда Н = Т. Противоречие, из которого следует, что предположение неверно, то есть СОТКА на 9 не делится.
