Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
У бабушки была клетчатая тряпочка (см. рисунок). Однажды она захотела сшить из неё подстилку коту в виде квадрата размером 5×5. Бабушка разрезала тряпочку на три части и сшила из них квадратный коврик, также раскрашенный в шахматном порядке. Покажите, как она могла это сделать (у тряпочки одна сторона – лицевая, а другая – изнаночная, то есть части можно поворачивать, но нельзя переворачивать).
Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?
|
|
 |
Условие
Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?
Решение
Докажем, что, как бы Вася ни действовал, вода заполнит как минимум 37 клеток.
Как бы Вася ни действовал на первом ходу, после него во втором ряду окажется не больше 3 мешков, а значит, во- да заполнит не менее 11 клеток во втором ряду. Как бы Вася ни действовал на втором ходу, после него в первых двух рядах окажется не больше 7 мешков, то есть останется не менее 14 − 7 = 7 вертикалей без мешков, по которым вода стечёт на третий ряд. Аналогичным образом после третьего хода заполнятся еще хотя бы 4 клетки, после четвёртого — хотя бы 1. Всего вода заполнит не менее 14 + 11 + 7 + 4 + + 1 = 37 клеток.
Добиться того, чтобы вода заполнила ровно 37 клеток, Вася может, положив мешки, например, как на рисунке (на первом ходу Вася кладет мешки во второй ряд, на втором – в третий и т. д.).
