|
|
 |
Условие
Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Решение
Первое решение. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. При симметрии относительно этой оси K переходит в C, а D переходит в A (см. левый рис.). Значит, AC образует тот же угол с основанием, что и диагональ квадрата KD, т. е. 45°. Но AB тоже образует с основанием угол 45°, как диагональ меньшего квадрата. Значит, точки A, B и C действительно лежат на одной прямой.
Второе решение (без использования симметрии). Введём обозначения так, как показано на рисунке справа и проведём отрезки AB и BC. Так как ∠ABH = 45°, достаточно доказать, что ∠KBC = ∠BCK = 45° (тогда ∠ABH + ∠HBK + ∠KBC = 45° + 90° + 45° = 180°, что равносильно утверждению задачи).
Используя равенство соответственных углов при параллельных прямых и равнобедренность треугольника AGD, получим: ∠GKC = ∠GAD = ∠GDA = ∠GCK. Следовательно, GK = GC, поэтому AK = CD. Значит, равны прямоугольные треугольники AKF и CDE (по гипотенузе и катету). Следовательно, CE = AF = BF, тогда BK = CK, откуда ∠KBC = ∠BCK = 45°, что и требовалось.
