|
|
 |
Условие
Можно ли внутри выпуклого пятиугольника отметить 18 точек так, чтобы внутри каждого из десяти треугольников, образованных его вершинами, отмеченных точек было поровну?
Решение
Проведем все диагонали пятиугольника (см. рисунок). Десять треугольников, указанных в условии, можно разделить на две группы по пять: 1) треугольники, образованные двумя соседними сторонами и диагональю пятиугольника; 2) треугольники, образованные стороной и двумя диагоналями пятиугольника.
Рассмотрим пятиугольник, образованный точками пересечения диагоналей исходного пятиугольника и пять малых треугольников, прилежащих к сторонам исходного. В каждой из этих областей отметим по три точки. Любой из десяти треугольников, указанных выше, содержит ровно две выделенные области, значит, внутри каждого из них находится ровно шесть отмеченных точек.
