|
|
 |
Условие
Дан прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения (длина, ширина и высота) – целые числа. Известно, что если длину и ширину увеличить на 1, а высоту уменьшить на 2, то объем параллелепипеда не изменится. Докажите, что какое-то из измерений данного параллелепипеда кратно трем.
Решение
Пусть a, b и c – длина, ширина и высота данного параллелепипеда. Тогда условие равенства объемов записывается так: abc = (a + 1)(b + 1)(c – 2). Предположим, что ни из чисел a, b и c не делится на 3, то есть abc не кратно трем Тогда и (a + 1)(b + 1)(c – 2) не кратно трем, значит, ни один из множителей также не делится на 3.
Заметим, в каждой из пар (a; a + 1), (b; b + 1) и (c; c – 2) остатки от деления на 3 отличаются на 1. Значит, каждое из чисел a, b и c при делении на 3 может давать только остаток 1, тогда каждое из чисел a + 1, b + 1 и c – 2 при делении на 3 дает остаток 2. Таким образом, остаток от деления на 3 левой части равенства равен 1, а остаток от деления на 3 правой части равен 2. Противоречие. Следовательно, хотя бы одно из измерений данного параллелепипеда кратно трем.
Комментарий. Отметим, что описанная в условии ситуация возможна, например, 20 × 14 × 18 = 21 × 15 × 16.
