ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66422
Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли четырёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше их произведения?

Решение

Предположим, что такое число существует. Тогда из условия задачи следует, что произведение его цифр делится на 25, поэтому среди его цифр должны быть две пятерки (нулей быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю).

Пусть a и b – две другие его цифры, тогда сумма цифр этого числа равна 10 + a + b, а произведение цифр равно 25ab.

Составим уравнение: 25(10 + a + b) = 25ab. Оно равносильно уравнению 10 + a + b = ab, которое можно привести к виду: ab – a – b + 1 = 11. Тогда левую часть полученного уравнения можно разложить на множители способом группировки. В результате этого получим: (a – 1)(b – 1) = 11. Так как 11 – простое число, то один из множителей равен 1, а другой равен 11. Но a и b – цифры, поэтому ни одна из них не равна 12. Противоречие.

Ответ

не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 7
задача
Номер 7.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .