Задача 66511

Тема:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 5,6,7

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.

Решение

Обойдём озеро по кругу и напишем на деревьях буквы: А, Б, В, затем снова А, Б, В и так далее. Деревьев с каждой буквой будет по 2019 : 3 = 673. Если бы сосен с каждой буквой было бы не более чем 336, то их всего было бы не более чем 336 ċ 3 = 1008. А так как их 1009, то сосен с какой-то буквой (скажем, А) будет хотя бы 337. (Такое рассуждение часто встречается в решениях математических задач и называется принципом Дирихле.) Рассмотрим теперь только деревья с буквой А. Если какие-то две сосны стоят подряд, то задача решена – дерево с буквой В между ними удовлетворяет условиям.

Если же между каждыми соседними соснами с буквой А растёт хотя бы по одной ёлке, то деревьев с буквой А будет не менее чем 337 ċ 2 = 674, а это не так.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2019
неизвестно
Класс	6
задача
Номер	5