|
|
 |
Условие
Каждая грань куба 6×6×6 разбита на клетки 1×1. Куб оклеили квадратами 2×2 так, что каждый квадрат накрывает ровно четыре клетки, никакие квадраты не совпадают и каждая клетка накрыта одинаковым числом квадратов. Какое наибольшее значение может принимать это одинаковое число? (Квадрат можно перегибать через ребро.)
Решение
Оценка. Клетку в углу грани можно накрыть тремя способами (целиком в грани, с перегибом через одно ребро угла, с перегибом через другое ребро угла). Значит, каждая клетка накрыта не более чем тремя квадратами.
Пример. Рассмотрим обычное покрытие куба квадратами, когда каждая грань покрыта девятью квадратами. Из обычного покрытия можно получить повёрнутое: оставим нетронутыми две противоположные грани, а на остальных четырёх гранях сдвинем все квадраты по кольцу на одну клетку. Так как пару противоположных граней можно выбрать тремя способами, то повёрнутых покрытий получится ровно три.
Покажем, что не совпадают никакие два квадрата на покрытиях, повёрнутых по-разному. Действительно, рассмотрим одну грань. На рисунке отмечены центры покрывающих её квадратов: крестиками, если эта грань не сдвигалась, чёрными и белыми точками – если сдвигалась в одном или другом направлении. Видно, что никакие центры, а значит и никакие квадраты не совпали.
Ответ
3.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Математический праздник |
| год | |
| Год | 2019 |
| неизвестно | |
| Класс | 6 |
| задача | |
| Номер | 6 |
