ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66531
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Попов Л. А.

Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.

Решение

На луче BM за точку M отметим точку E так, что ME = MB (см. рис.). Заметим, что BCED – параллелограмм, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Тогда DEBC, откуда следует, что точка E лежит на прямой AD.

Имеем AB = BD = CE, т. е. ABCE – равнобедренная трапеция. Так как ее углы ABC и BCE равны, то треугольники ABC и ECB равны по двум сторонам (AB = EC, BC = CB) и углу между ними. Тогда равны и их соответственные углы BCA и CBE, откуда следует требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2019
Номер 82
класс
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .