Задача 66532

Темы:    [ Симметричная стратегия ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Дориченко С.А.

На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.

Решение

Назовем самого левого кузнечика Ричардом. Пусть тогда сначала все кузнечики, кроме Ричарда, перепрыгнут через Ричарда. Ясно, что теперь кузнечики находятся в конфигурации, симметричной изначальной. Тогда они могут, используя ходы, симметричные тем, которые они бы делали при прыжках вправо, добиться требуемого.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
Класс	8
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2019
Номер	82
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	3