|
|
 |
Условие
Биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность w треугольника ABC в точках B и L. Точка M – середина отрезка AC. На дуге ABC окружности w выбрана
точка E так, что EM ∥ BL. Прямые AB и BC пересекают
прямую EL в точках P и Q соответственно. Докажите, что
PE = EQ.
Решение
Первое решение.
Продлим EM до пересечения с окружностью в точке D. Докажем, что \triangle BPQ \sim \triangle DAC, причем отрезку BE соответствует медиана DM.
Без ограничения общности, будем считать, что точка P лежит на продолжении AB. Учитывая, что между параллельными хордами BL и ED заключены равные дуги, а биссектриса BL делит дугу AC на две равных, запишем: \angle P = \frac{\smile AL - \smile BE}{2} = \frac{\smile CL - \smile DL}{2} = \frac{\smile CD}{2} = \angle A. И аналогично \angle Q = \frac{\smile CL + \smile BE}{2} = \frac{\smile AL + \smile LD}{2} = \frac{\smile AD}{2} = \angle C. Следовательно, \triangle BPQ \sim \triangle DAC. Осталось заметить, что \angle QBE и \angle CDM равны, так как опираются на одну дугу. Значит, медиане DM соответствует отрезок BE, и он сам является медианой \triangle BPQ, PE = EQ.
Второе решение. Это решение основано на работе Якова Богданова.
Пусть прямая EM пересекает AB и BC в точках P' и Q' соответственно. Также обозначим \angle BAE = \angle BLE = \angle BCE = \angle QEQ' = \angle PEP' = \alpha и \angle ABL = \angle CBL = \angle AEM = \angle CEM = \beta (указанные углы равны, как опирающиеся на одну дугу и углы при параллельных прямых). Последовательно применяя теорему синусов для треугольников \triangle PP'E, \triangle AP'E и \triangle AP'M, получим: \begin{align*} PE &= \frac{P'E \cdot \sin \beta}{\sin (\beta - \alpha)} = \frac{AP'\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin (\beta + \alpha) \cdot \sin(\beta - \alpha)} = \\ &= \frac{AM \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin \beta \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta -\alpha)} = \frac{AC \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha}{2 \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)}. \end{align*} Аналогично, применяя теорему синусов для треугольников \triangle QQ'E, \triangle CQ'E и \triangle CQ'M, получим: QE = \frac{CM \cdot \sin \angle EMC \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin \beta \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)} = \frac{AC \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha}{2 \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)}. То есть PE=QE, что и требовалось доказать.
