|
|
 |
Условие
Биссектриса угла ABC пересекает описанную окружность w треугольника ABC в точках B и L. Точка M – середина отрезка AC. На дуге ABC окружности w выбрана
точка E так, что EM ∥ BL. Прямые AB и BC пересекают
прямую EL в точках P и Q соответственно. Докажите, что
PE = EQ.
Решение
Первое решение.
Продлим $EM$ до пересечения с окружностью в точке $D$. Докажем, что $\triangle BPQ \sim \triangle DAC$, причем отрезку $BE$ соответствует медиана $DM$.
Без ограничения общности, будем считать, что точка $P$ лежит на продолжении $AB$. Учитывая, что между параллельными хордами $BL$ и $ED$ заключены равные дуги, а биссектриса $BL$ делит дугу $AC$ на две равных, запишем: $$ \angle P = \frac{\smile AL - \smile BE}{2} = \frac{\smile CL - \smile DL}{2} = \frac{\smile CD}{2} = \angle A. $$ И аналогично $$ \angle Q = \frac{\smile CL + \smile BE}{2} = \frac{\smile AL + \smile LD}{2} = \frac{\smile AD}{2} = \angle C. $$ Следовательно, $\triangle BPQ \sim \triangle DAC$. Осталось заметить, что $\angle QBE$ и $\angle CDM$ равны, так как опираются на одну дугу. Значит, медиане $DM$ соответствует отрезок $BE$, и он сам является медианой $\triangle BPQ, PE = EQ$.
Второе решение. Это решение основано на работе Якова Богданова.
Пусть прямая $EM$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Также обозначим $\angle BAE = \angle BLE = \angle BCE = \angle QEQ' = \angle PEP' = \alpha $ и $\angle ABL = \angle CBL = \angle AEM = \angle CEM = \beta$ (указанные углы равны, как опирающиеся на одну дугу и углы при параллельных прямых). Последовательно применяя теорему синусов для треугольников $\triangle PP'E$, $\triangle AP'E$ и $\triangle AP'M$, получим: \begin{align*} PE &= \frac{P'E \cdot \sin \beta}{\sin (\beta - \alpha)} = \frac{AP'\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin (\beta + \alpha) \cdot \sin(\beta - \alpha)} = \\ &= \frac{AM \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin \beta \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta -\alpha)} = \frac{AC \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha}{2 \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)}. \end{align*} Аналогично, применяя теорему синусов для треугольников $\triangle QQ'E$, $\triangle CQ'E$ и $\triangle CQ'M$, получим: $$QE = \frac{CM \cdot \sin \angle EMC \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta}{\sin \beta \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)} = \frac{AC \cdot \sin \angle EMA \cdot \sin \alpha}{2 \cdot \sin (\beta + \alpha) \cdot \sin (\beta - \alpha)}.$$ То есть $PE=QE$, что и требовалось доказать.
