ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66543
Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Разрезания (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 — это тоже полоска!)

Решение

Первое решение Пусть прямоугольник занимает a клеток по вертикали и b по горизонтали, a + b = 50 : 2 = 25. Аналогично пусть размеры дырки — x клеток по вертикали и y по горизонтали, x + y = 32 : 2 = 16.

Если бы дырки не было, было бы a горизонтальных полосок. Дырка разрезает x из них на две части, так что всего горизонтальных полосок a + x, что по условию равно 20. Аналогично вертикальных полосок будет b + y. Но a + b + x + y = 25 + 16 = 41 и a + x = 20. Значит, b + y = 41 − 20 = 21.

Второе решение Для каждой горизонтальной полоски отметим её левую и правую стороны, а для каждой вертикальной — верхнюю и нижнюю. Ясно, что мы по одному разу отметили все границы клеток на контуре прямоугольника и контуре дырки, т. е. 50 + 32 = 82 границы. Каждая полоска давала нам по две границы, так что всего полосок 82 : 2 = 41. Горизонтальных среди них 20, значит, вертикальных 21.

Комментарий. Второе решение более общее — оно работает и в том случае, когда фигура и дырка имеют сложную многоугольную форму (см. рис.).

Ответ

21

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2021
класс
Класс 6
неизвестно
Номер 4
олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2021
класс
Класс 7
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .