ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66547
Тема:    [ Ребусы ]
Сложность: 3
Классы: 6,7
Название задачи: Учуй кекс.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:

— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.

Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!

Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?

Решение

а) Заметим, что КЕ и КС заменяют разные числа, но от их перестановки произведение УЧУЙ не изменится. Значит, для каждого решения ребуса есть парное, где цифры, соответствующие Е и С, поменяны местами. Поэтому однозначно восстановить решение, задуманное фокусником, не получится.

б) После увеличения всех цифр на 1 получилось снова решение ребуса, значит,

УЧУЙ + 1111 = (КЕ + 11)(КС + 11) = КЕ · КС + 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11.

Поскольку при этом УЧУЙ = КЕ · КС, получаем, что

1111 = 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11,
101 = КЕ + КС + 11,
КЕ + КС = 90,

то есть

10 · К + Е + 10 · К + С = 90,
20 · К + Е + С = 90.

Заметим, что Е + С — это число от 1 до 17, а значит, 20 · К — число от 73 до 89, которое делится на 20. Тогда 20 · К = 80 и К = 4, а Е + С = 10.

Цифры Е и С — разные, ни одна из них не равна 4, а также ни одна из них не равна 9 (иначе бы при добавлении 1 к каждой цифре произошёл бы переход через десяток, который изменит ровно одну из цифр на месте букв У или К, и итог не будет решением ребуса). Тогда для равенства Е + С = 10 остаётся только два варианта: 2 + 8 и 3 + 7.

Тогда КЕ · КС = 42 · 48 = 2016 или КЕ · КС = 43 · 47 = 2021. Но в слове УЧУЙ совпадают первая и третья буква, а значит, подходит только вариант УЧУЙ = 2021.

Ответ

а) Нет. б) Да, УЧУЙ = 2021.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2021
класс
Класс 7
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .