|
|
 |
Условие
Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.Решение
Первое решение. Отметим на продолжении отрезка LM за точку M такую точку T, что MT = 2. Углы BLK и TMK равны, так как они смежные с равными углами равнобедренного треугольника KLM. Значит, треугольники BLK и TMK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны их соответствующие углы: ∠KTM = ∠KBL = 60°.
В треугольнике KBT два угла по 60°, поэтому он равносторонний, и BK = BT. Так как треугольник ABC тоже равносторонний и BA = BC, то CT = BC − BT = BA − BK = AK = 3 (и точка T лежит именно на стороне BC, а не на её продолжении). Тогда CM = CT + MT = 3 + 2 = 5.
Второе решение. Проведём высоту KH равнобедренного треугольника KLM. Она также является его медианой, поэтому LH = HM. Обозначим LH = HM = x. Треугольник KBH — прямоугольный с углом B, равным 60°, а значит, его гипотенуза KB в 2 раза больше его катета BH. Так как BH = 2 + x, то KB = 2BH = 4 + 2x, а тогда BA = BK + KA = 4 + 2x + 3 = 7 + 2x. Треугольник ABC равносторонний, поэтому BC = BA = 7 + 2x. А значит, MC = BC − BM = (7 + 2x) − (2 + 2x) = 5.
