Задача 66622

Тема:    [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

В парке два года проводили озеленительные работы: спиливали старые и сажали новые деревья. Руководители проекта заявляют, что за два года средний прирост количества деревьев составляет $15\%$. Экологи говорят, что за два года количество деревьев уменьшилось на $10\%$. Может ли и то и другое быть правдой? (Если количество деревьев за год увеличилось, то прирост считается положительным, если уменьшилось – то отрицательным. Средний прирост за два года руководители вычисляют как $(a+b)/2$, где $a$ – прирост за первый год, $b$ – за второй.)

Решение

Пусть за первый год количество деревьев увеличилось на $80\%$, а во второй – уменьшилось на $50\%$. Тогда за два года количество деревьев изменилось в $1{,}80\cdot0{,}50=0{,}90$ раз, т.е. как раз уменьшилось на $10\%$. При этом средний прирост действительно составил $\frac{80\%+(-50\%)}{2}=15\%.$

Ответ

Да, может.

Замечания

$80\%$ и $-50\%$ – единственные возможные приросты, подходящие под условие задачи. Действительно, пусть в один год прирост равнялся $a\%$, а в другой – $b\%$. Из условия задачи тогда следует, что $\frac{a+b}{2}=15$, а $\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1+\frac{b}{100}\right)=0{,}90$.

После некоторых преобразований, получаем, что тогда $a+b=30$, а $ab=-4000$. Но тогда по теореме Виета числа $a$ и $b$ суть корни квадратного уравнения $t^2-30t-4000=0$, т.е. $-50$ и $80$ в некотором порядке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2018
задача
Номер	5