Задача 66630

Темы:    [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В школе провели турнир по настольному теннису. Турнир состоял из нескольких туров. В каждом туре каждый участник играл ровно в одном матче, а каждый матч судил один из не участвовавших в нем игроков.

После нескольких туров оказалось, что каждый участник сыграл по одному разу с каждым из остальных. Может ли оказаться, что все участники турнира судили одинаковое количество встреч?

Решение

Пусть в одном туре было сыграно $k$ партий. Так как каждый участник играл в одной партии, всего участников было $2k$. Тогда всего в турнире было $2k(2k-1)/2$ партий. действительно, представим себе турнирную таблицу. Каждой партии соответствует клетка над диагональю. Этих клеток столько же, сколько и под диагональю, а клеток под и над диагональю суммарно $(2k)^2-2k=2k(2k-1)$.

Но если все участники судили одинаковое количество встреч, то каждый из них должен был судить по $\frac{2k(2k-1)/2}{2k}=(2k-1)/2$ встречи, а это число нецелое.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2019
задача
Номер	5