|
|
 |
Условие
Сумма нескольких положительных чисел равна единице.
Докажите, что среди них найдётся число, не меньшее суммы квадратов всех чисел.
Решение
Первое решение. Пусть исходные числа равняются $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Докажем, что наибольшее из них, $A$, подходит (это достаточно естественный выбор: ведь если бы даже наибольшее число было меньше суммы квадратов всех чисел, то и все числа были бы меньше).
Для каждого $k$ выполняется неравенство $a_k^2\leqslant a_kA$. Складывая все такие неравенства, получаем $$ a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\leqslant a_1A+a_2A+\ldots+a_nA=(a_1+a_2+\ldots+a_n)A=A, $$ где последнее равенство следует из того, что сумма всех чисел равна 1.
Второе решение. На рисунке ниже — геометрическое объяснение того же неравенства: квадраты со сторонами $a_i$ расположены внутри прямоугольника $A\times1$ (а значит, сумма площадей первых не превосходит площади последнего).
