Задача 66632

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Высоцкий И.

Сумма нескольких положительных чисел равна единице. Докажите, что среди них найдётся число, не меньшее суммы квадратов всех чисел.

Решение

Первое решение. Пусть исходные числа равняются $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Докажем, что наибольшее из них, $A$, подходит (это достаточно естественный выбор: ведь если бы даже наибольшее число было меньше суммы квадратов всех чисел, то и все числа были бы меньше).

Для каждого $k$ выполняется неравенство $a_k^2\leqslant a_kA$. Складывая все такие неравенства, получаем $$a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2⩽a_{1}A+a_{2}A+\dots +a_{n}A=(a_1+a_2+\dots +a_n)A=A,$$ где последнее равенство следует из того, что сумма всех чисел равна 1.

Второе решение. На рисунке ниже — геометрическое объяснение того же неравенства: квадраты со сторонами $a_i$ расположены внутри прямоугольника $A\times1$ (а значит, сумма площадей первых не превосходит площади последнего).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2019
задача
Номер	7