ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66642
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

Решение

Очевидно, что, если две окружности вписаны в один угол квадрата, то третья окружность не может касаться их обеих и двух сторон. Поэтому можно считать, что окружности вписаны в углы $A$, $B$ и $C$ квадрата $ABCD$. Но тогда окружности, вписанные в углы $A$ и $C$, симметричны относительно диагонали $BD$ и, следовательно, равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 1 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .