Задача 66642

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

Решение

Очевидно, что, если две окружности вписаны в один угол квадрата, то третья окружность не может касаться их обеих и двух сторон. Поэтому можно считать, что окружности вписаны в углы $A$, $B$ и $C$ квадрата $ABCD$. Но тогда окружности, вписанные в углы $A$ и $C$, симметричны относительно диагонали $BD$ и, следовательно, равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	1 [8 кл]