ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66643
Темы:    [ Вписанные четырехугольники ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ — в точке $F$. В треугольнике $AED$ отмечен центр вписанной окружности $I$, а из точки $F$ проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла $AID$. В каком отношении этот луч делит угол $AFB$?

Решение

Заметим, что угол между биссектрисами углов $AED$ и $AFB$ равен полусумме углов $FAE$ и $FCE$, т.е. $90^{\circ}$. Поэтому угол между биссектрисой угла $AFB$ и лучом $FK$, где $K$ — проекция $F$ на биссектрису угла $AID$, равен (см. рис) $$180^{\circ}-\angle EIK = 180^{\circ} - (90^{\circ}+\angle A/2) - (180^{\circ} - \angle A/2 - \angle D/2)/2=(\angle D-\angle A)/4=\angle AFB/4,$$ следовательно, и $\angle AFK=\angle AFB/4$.


Ответ

$1:3$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 2 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .