Задача 66645

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По дуге $AD$, не содержащей точек $B$ и $C$, движется точка $P$. Фиксированная прямая $l$, перпендикулярная прямой $BC$, пересекает лучи $BP$, $CP$ в точках $B_0$, $C_0$ соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника $PB_0C_0$ в точке $P$, проходит через фиксированную точку.

Решение

Пусть $Q$ – вторая точка пересечения касательной с описанной окружностью четырехугольника. Тогда (см. рис.) $$\angle BPQ = \angle B_0C_0P = 90^{\circ} - \angle BCP = 90^{\circ} - \angle BQP.$$ Следовательно, $\angle PBQ = 90^{\circ}$, т.е. $PQ$ – диаметр окружности $ABCD$. Таким образом, все касательные проходят через центр окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	4 [8 кл]