Условие
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу.
Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.
Решение
Из подобия треугольников $HAC$ и $HCB$ следует, что $HO_2=2HO_1$, а значит, $HH_2=HH_1$. Таким образом, достаточно доказать, что $H_1H_0=2H_0H_2$. Но $$H_1 H_0 = A H_0 - A H_1 = AH_0 \frac{AB-AC}{AB} = \frac{(AB+AC-BC) (AB-AC)}{2 AB} = \frac{BC^2-BC (AB-AC)}{2 AB} = \frac{BC (AC+BC-AB)}{2 AB}.$$
Аналогично $H_0H_2 = \frac{AC (AC+BC-AB)}{2 AB}$, откуда и следует искомое равенство.
Источники и прецеденты использования
