Условие
В остроугольном треугольнике расположен квадрат: две его вершины находятся на одной из сторон треугольника, а две другие по одной на других сторонах. Аналогичные квадраты построены для двух других сторон треугольника. Докажите, что из трех отрезков, равных сторонам этих квадратов, можно составить остроугольный треугольник.
Решение
Пусть вершины $K$, $L$ наибольшего из трех квадратов лежат на стороне $AB$, а его вершины $M$, $N$ – на сторонах $BC$, $AC$ соответственно. Опустим перпендикуляры $MX$, $NY$ на $AC$, $BC$ соответственно и проведем через $M$ прямую, параллельную $AC$ и пересекающую $AB$ в точке $Z$ (см. рис.).
Так как $MX < MN = ML < MZ$, сторона квадрата, вписанного в треугольник, с основанием на $AC$ больше $MX$. Аналогично сторона вписанного квадрата с основанием на $BC$ больше $NY$. Поскольку $MN^2 - MX^2 = NX^2 < NY^2$, из отрезков $MN$, $MX$, $NY$ можно составить остроугольный треугольник. Следовательно, треугольник составленный из сторон трех квадратов тоже будет остроугольным.
Источники и прецеденты использования
