ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66650
Тема:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике расположен квадрат: две его вершины находятся на одной из сторон треугольника, а две другие по одной на других сторонах. Аналогичные квадраты построены для двух других сторон треугольника. Докажите, что из трех отрезков, равных сторонам этих квадратов, можно составить остроугольный треугольник.

Решение

Пусть вершины $K$, $L$ наибольшего из трех квадратов лежат на стороне $AB$, а его вершины $M$, $N$ – на сторонах $BC$, $AC$ соответственно. Опустим перпендикуляры $MX$, $NY$ на $AC$, $BC$ соответственно и проведем через $M$ прямую, параллельную $AC$ и пересекающую $AB$ в точке $Z$ (см. рис.).

Так как $MX < MN = ML < MZ$, сторона квадрата, вписанного в треугольник, с основанием на $AC$ больше $MX$. Аналогично сторона вписанного квадрата с основанием на $BC$ больше $NY$. Поскольку $MN^2 - MX^2 = NX^2 < NY^2$, из отрезков $MN$, $MX$, $NY$ можно составить остроугольный треугольник. Следовательно, треугольник составленный из сторон трех квадратов тоже будет остроугольным.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 9 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .