Условие
На плоскости даны прямая $l$ и точка $A$ вне ее. Найдите геометрическое место инцентров остроугольных треугольников с вершиной $A$, у которых одна сторона лежит на прямой $l$.
Решение
Пусть $H$ – проекция $A$ на $l$. Так как треугольник остроугольный, его инцентр $I$ и одна из его вершин, например $B$, лежат по разные стороны от прямой $AH$. Поэтому расстояние от $I$ до $AH$ меньше, чем до $AB$. Но последнее расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности, т.е. расстоянию от $I$ до $l$. Следовательно, $I$ лежит внутри прямого угла, образованного биссектрисами углов между $AH$ и $l$. Очевидно также, что $r < AH/2$, т.е. $I$ лежит внутри полосы, ограниченной $l$ и серединным перпендикуляром к $AH$. Наконец, поскольку угол $A$ острый, то $AI = \frac{r}{\sin\angle A/2} > r \sqrt{2}$, поэтому $I$ лежит между ветвями равносторонней гиперболы с фокусом $A$ и директрисой $l$. С другой стороны, для любой точки, удовлетворяющей перечисленным условиям, можно построить окружность с центром в этой точке, касающуюся $l$, провести к ней касательные из точки $A$ и получить остроугольный треугольник. Таким образом, искомое ГМТ – это внутренность области, ограниченной биссектрисами углов между $l$ и $AH$, серединным перпендикуляром к $AH$ и соответствующей ветвью гиперболы.
Источники и прецеденты использования
