Задача 66665

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Перпендикулярные прямые в пространстве ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Солынин А.

Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.

На любых двух соседних гранях штриховка перпендикулярна. Существует ли выпуклый многогранник с числом граней, не равным $6$, грани которого можно заштриховать аналогичным образом?

Решение

Возьмем четырехугольник $ABCD$. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$, а прямые $AD$ и $BC$ – в точке $Y$. Проведем через прямую $XY$ плоскость, перпендикулярную плоскости четырехугольника, и возьмем в ней такую точку $S$, что $\angle XSY = 90^{\circ}$. Теперь нанесем на грани $SAB$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ штриховку параллельно прямой $SX$, на грани $SBC$ и $SCD$ – параллельно прямой $SY$, а на грань $ABCD$ – перпендикулярно плоскости $SXY$. Очевидно, такая штриховка удовлетворяет условию.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	24 [10-11 кл]