Задача 66680

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Преобразования плоскости (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Куликова А.

К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

Решение

Пусть $M$ – центр тяжести треугольника $ABC$, $P$ – точка пересечения касательных. Так как $AP$ – симедиана треугольника, прямые $AP$ и $AM$ являются изогоналями относительно угла $BAC$ (см. рис.). По теореме об изогоналях прямые $AK$ и $AL$ тоже являются изогоналями.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7