|
|
 |
Условие
Даны три натуральных числа. Каждое из них делится на наибольший общий делитель остальных двух. Наименьшее общее кратное каждых двух из данных чисел делится на оставшееся третье. Обязательно ли все три числа равны?
Решение 1
Пусть эти числа $x, y, z$. Докажем, что любое простое число $p$ входит в разложение каждого числа в одной и той же степени – это и будет значить, что числа равны. Пусть $p$ входит в $x$ в степени $\alpha$, в $y$ – в степени $\beta$, в $z$ – в степени $\gamma$. Можно считать, что $\alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$. Из того, что $x$ делится на НОД($y, z$), имеем $\alpha \geqslant \beta$, а из того, что НОК($x, y$) делится на $z$, имеем $\beta \geqslant \gamma$. Значит, $\alpha = \beta = \gamma$, что и требовалось.
Решение 2
Пусть $d$ – наибольший общий делитель всех трёх чисел, а они равны $xd, yd, zd$. Тогда $x, y$ и $z$ взаимно просты в совокупности.
Предположим, что $x$ делится на простое число $p$. Так как $[y, z]d$ делится на $xd$, то делится и на $pd$. Значит, $y$ или $z$ делится на $p$. Пусть это $y$. Так как $zd$ делится на $(x, y)d,$ то делится и на $pd$. Следовательно, $x, y$ и $z$ делятся на $p$. Противоречие.
Таким образом, $x$ = 1. Аналогично $y = z$ = 1, то есть исходные числа равны $d$.
Ответ
Обязательно.
Замечания
1. Справедливо более сильное утверждение: если даны $a + b - 1$ натуральных чисел, НОК любых $a$ из которых делится на каждое, и каждое делится на НОД любых $b$ из них, то все эти числа равны.
2. 4 балла.
