Задача 66703

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$.

Решение

$\angle B = \frac{1}{2}\angle AOC$ = 90° – $\angle OCA = \angle PAC =\angle PHB$  (последнее равенство следует из очевидной вписанности четырёхугольника $APHC$). Значит, луч $HP$ отсекает от прямоугольного треугольника $ABH$ равнобедренный треугольник $BMH$. Поэтому $M$ – середина $AB$.

Замечания

1. Точка $P$ может лежать и внутри треугольника $ABC$, на отрезке $OC$ или вне его. Решение годится для всех случаев. Утверждение задачи верно и для неостроугольного треугольника.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	39
Дата	2017/18
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 классы
задача
Номер	4