ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66769
Темы:    [ Вписанные четырехугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.

Решение

Очевидно, что точки $A$, $C$, $A_1$, $C_1$ лежат на одной окружности, обозначим ее $\omega_1$. Заметим также, что середины $X$ и $Y$ отрезков $QC_1$ и $RC$ являются проекциями точки $P$ на $AB$ и $AC$ соответственно, следовательно, $X$, $Y$ и $A_1$ лежат на окружности $\omega_2$ с диаметром $AP$. Пусть точка $O$ симметрична центру $\omega_1$ (середина $AC$) относительно центра $\omega_2$. По теореме Фалеса проекции $O$ на $AB$ и $AC$ являются серединами отрезков $AQ$ и $AR$ соответственно, т.е. $O$ – центр окружности, проходящей через $A$, $Q$ и $R$. Поскольку $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $AA_1$, точка $A_1$ также лежит на этой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
Заочный тур
задача
Номер 1 [8 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .