Задача 66777

Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Решение

Заметим, что, например, $C_MC_H=|AC_H-BC_H|/2$. Следовательно, $C_MC_H/C_HC=|\operatorname{ctg} A -\operatorname{ctg} B|/2$. Из этого и двух аналогичных равенств сразу следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	9 [8-9 кл]