ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66777
Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

Решение

Заметим, что, например, $C_MC_H=|AC_H-BC_H|/2$. Следовательно, $C_MC_H/C_HC=|\operatorname{ctg} A -\operatorname{ctg} B|/2$. Из этого и двух аналогичных равенств сразу следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
Заочный тур
задача
Номер 9 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .